Apuntes de Probabilidad y Estadística
Conceptos fundamentales de estadística y probabilidad
1. Introducción a la Probabilidad
La probabilidad es la medida de la posibilidad de que ocurra un evento aleatorio.
Definiciones Básicas
- Experimento aleatorio: Proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza
- Espacio muestral (Ω): Conjunto de todos los resultados posibles
- Evento o suceso: Subconjunto del espacio muestral
Probabilidad de un Evento
Propiedades:
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(Ω) = 1
- P(∅) = 0
Ejemplo:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?
Casos favorables: {2, 4, 6} = 3
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6
P(par) = 3/6 = 1/2 = 0.5
2. Operaciones con Eventos
Unión de Eventos
A ∪ B: Ocurre A o B (o ambos)
Intersección de Eventos
A ∩ B: Ocurren A y B simultáneamente
Complemento de un Evento
Aᶜ: No ocurre A
Eventos Mutuamente Excluyentes
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si A ∩ B = ∅
3. Probabilidad Condicional
La probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B:
Eventos Independientes
Dos eventos A y B son independientes si:
Ejemplo:
En una urna hay 5 bolas rojas y 3 azules. Se extrae una bola sin reposición y luego otra.
P(2ª roja | 1ª roja) = 4/7
Porque quedan 4 rojas de 7 bolas totales.
4. Distribuciones de Probabilidad
4.1 Distribución Binomial
Para n ensayos independientes con probabilidad p de éxito:
Media: μ = np
Varianza: σ² = np(1-p)
4.2 Distribución Normal
La distribución continua más importante, con función de densidad:
Distribución Normal Estándar: μ = 0, σ = 1
5. Estadística Descriptiva
5.1 Medidas de Tendencia Central
Media Aritmética:
Mediana: Valor central cuando los datos están ordenados
Moda: Valor que más se repite
5.2 Medidas de Dispersión
Rango: Diferencia entre el máximo y mínimo
Varianza:
Desviación Estándar:
Ejemplo:
Datos: 2, 4, 6, 8, 10
Media: x̄ = (2+4+6+8+10)/5 = 6
Mediana: 6 (valor central)
Varianza: s² = [(2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (8-6)² + (10-6)²]/4 = 10
Desviación estándar: s = √10 ≈ 3.16
6. Correlación y Regresión
6.1 Coeficiente de Correlación
Mide la fuerza de la relación lineal entre dos variables:
Interpretación:
- r = 1: Correlación positiva perfecta
- r = 0: No hay correlación lineal
- r = -1: Correlación negativa perfecta
6.2 Regresión Lineal
La recta de regresión tiene la forma y = a + bx, donde:
Ejemplo:
Si tenemos los puntos (1,2), (2,4), (3,5), (4,7), (5,8):
La recta de regresión sería aproximadamente y = 0.8 + 1.5x
Con coeficiente de correlación r ≈ 0.98 (correlación muy fuerte)