Funciones
Explora el fascinante mundo de las funciones y sus propiedades
Contenido
1. Concepto de Función
Una función es una relación entre dos conjuntos donde cada elemento del conjunto de partida se relaciona con exactamente un elemento del conjunto de llegada.
Definición
Una función f de A en B es una regla que asigna a cada elemento x ∈ A exactamente un elemento y ∈ B.
x ↦ f(x) = y
Donde:
- A = Dominio
- B = Codominio
- x = Variable independiente
- y = Variable dependiente
Condición de Función
Para que una relación sea función, debe cumplir que cada valor de x tiene un único valor de y.
Prueba de la línea vertical: Una gráfica representa una función si cualquier línea vertical la corta en máximo un punto.
2. Dominio y Recorrido
Dominio (Dom f)
Es el conjunto de todos los valores de x para los cuales la función está definida.
Recorrido o Rango (Rec f)
Es el conjunto de todos los valores de y que puede tomar la función.
Ejemplos de Dominios
- f(x) = x²: Dom f = ℝ (todos los reales)
- f(x) = 1/x: Dom f = ℝ - {0} (todos los reales excepto cero)
- f(x) = √x: Dom f = [0, +∞) (números no negativos)
- f(x) = ln(x): Dom f = (0, +∞) (números positivos)
3. Tipos de Funciones
Función Lineal
Gráfica: Línea recta
Función Cuadrática
Gráfica: Parábola
Función Exponencial
Base a > 0, a ≠ 1
Función Logarítmica
Inversa de la exponencial
Función Trigonométrica
Funciones periódicas
Función Racional
Cociente de polinomios
4. Operaciones con Funciones
Suma
Resta
Producto
Cociente
donde g(x) ≠ 0
Dominio de Operaciones
El dominio de f ± g, f · g es Dom f ∩ Dom g
El dominio de f / g es Dom f ∩ Dom g ∩ {x: g(x) ≠ 0}
5. Composición de Funciones
Definición
La composición de f con g se denota (f ∘ g)(x) = f(g(x))
Se lee "f compuesta con g de x"
Ejemplo
Sean f(x) = x² y g(x) = x + 1
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)²
- (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 1
Nota: En general, f ∘ g ≠ g ∘ f
Dominio de la Composición
Dom(f ∘ g) = {x ∈ Dom g : g(x) ∈ Dom f}
6. Función Inversa
Definición
La función inversa f⁻¹ de f satisface:
f(f⁻¹(y)) = y para todo y ∈ Rec f
Condición de Existencia
Una función tiene inversa si y solo si es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).
Prueba de la línea horizontal: Una función es inyectiva si cualquier línea horizontal la corta en máximo un punto.
Cómo Encontrar la Inversa
- Escribir y = f(x)
- Intercambiar x e y
- Despejar y en términos de x
- La expresión resultante es f⁻¹(x)
Ejemplo: f(x) = 2x + 3
- y = 2x + 3
- x = 2y + 3
- y = (x - 3)/2
- f⁻¹(x) = (x - 3)/2
7. Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1
Enunciado: Encuentra el dominio de f(x) = √(x - 2)/(x + 1)
Solución:
Para que la función esté definida:
- x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2 (para la raíz cuadrada)
- x + 1 ≠ 0 → x ≠ -1 (denominador no nulo)
Dom f = [2, +∞)
Ejercicio 2
Enunciado: Sean f(x) = x² - 1 y g(x) = 2x + 3. Encuentra (f ∘ g)(x)
Solución:
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 3)
= (2x + 3)² - 1
= 4x² + 12x + 9 - 1
(f ∘ g)(x) = 4x² + 12x + 8
Ejercicio 3
Enunciado: Encuentra la inversa de f(x) = (3x - 1)/2
Solución:
- y = (3x - 1)/2
- x = (3y - 1)/2
- 2x = 3y - 1
- 3y = 2x + 1
- y = (2x + 1)/3
f⁻¹(x) = (2x + 1)/3