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Apuntes de Geometría Analítica

Geometría en el plano cartesiano

1. Sistema de Coordenadas Cartesianas

El plano cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares que se intersectan en el origen (0,0).

Distancia entre Dos Puntos

Dados dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), la distancia entre ellos es:

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

Ejemplo:

Distancia entre A(1, 2) y B(4, 6):

d = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5

Punto Medio

El punto medio M entre A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) es:

M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

2. La Recta

Una recta puede representarse de varias formas en el plano cartesiano.

2.1 Ecuación Punto-Pendiente

Si conocemos un punto (x₁, y₁) y la pendiente m:

y - y₁ = m(x - x₁)

2.2 Ecuación Pendiente-Ordenada

y = mx + b

Donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen.

2.3 Ecuación General

Ax + By + C = 0

Pendiente de una Recta

Dados dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂):

m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

Ejemplo:

Ecuación de la recta que pasa por (2, 1) con pendiente m = 3:

y - 1 = 3(x - 2)

y = 3x - 5

3. Rectas Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente:

L₁ || L₂ ⟺ m₁ = m₂

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1:

L₁ ⊥ L₂ ⟺ m₁ · m₂ = -1

4. La Circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que están a una distancia fija (radio) de un punto fijo (centro).

Ecuación Canónica

Circunferencia con centro (h, k) y radio r:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Ecuación General

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Ejemplo:

Ecuación de la circunferencia con centro (3, -2) y radio 5:

(x - 3)² + (y + 2)² = 25

5. Cónicas

Las cónicas son curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano.

5.1 La Parábola

Ecuación canónica con vértice en el origen:

y² = 4px (abre horizontalmente)
x² = 4py (abre verticalmente)

5.2 La Elipse

Ecuación canónica con centro en el origen:

x²/a² + y²/b² = 1

Donde a y b son los semiejes mayor y menor.

5.3 La Hipérbola

Ecuación canónica con centro en el origen:

x²/a² - y²/b² = 1 (abre horizontalmente)
y²/b² - x²/a² = 1 (abre verticalmente)

6. Vectores en el Plano

Un vector es una magnitud que tiene dirección, sentido y módulo.

Representación

Un vector v⃗ puede representarse como:

v⃗ = (vₓ, vᵧ) = vₓî + vᵧĵ

Módulo de un Vector

|v⃗| = √(vₓ² + vᵧ²)

Operaciones con Vectores

Suma: u⃗ + v⃗ = (uₓ + vₓ, uᵧ + vᵧ)

Producto por escalar: k·v⃗ = (k·vₓ, k·vᵧ)

Producto escalar: u⃗ · v⃗ = uₓvₓ + uᵧvᵧ

Ejemplo:

Si u⃗ = (3, 4) y v⃗ = (1, 2):

u⃗ + v⃗ = (4, 6)

|u⃗| = √(9 + 16) = 5

u⃗ · v⃗ = 3·1 + 4·2 = 11

¿Listo para poner a prueba tus conocimientos?