Volver al inicio

Apuntes de Integrales

Domina las integrales desde cero hasta nivel avanzado

1. Introducción a las Integrales

La integral es una operación matemática fundamental que nos permite calcular áreas bajo curvas, volúmenes, y resolver muchos problemas de la física y la ingeniería.

Definición

Una integral representa la acumulación de cantidades infinitesimales. Existen dos tipos principales:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Donde F'(x) = f(x) y C es la constante de integración.

2. Integrales Inmediatas

Son las integrales básicas que debemos memorizar:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n ≠ -1)
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ e^x dx = e^x + C
∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
∫ cos(x) dx = sin(x) + C

3. Métodos de Integración

3.1 Integración por Sustitución

Útil cuando tenemos una función compuesta:

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du

Donde u = g(x) y du = g'(x) dx

Ejemplo:

∫ 2x · e^(x²) dx

Sea u = x², entonces du = 2x dx

∫ e^u du = e^u + C = e^(x²) + C

3.2 Integración por Partes

Se aplica cuando tenemos el producto de dos funciones:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Ejemplo:

∫ x · e^x dx

u = x, dv = e^x dx

du = dx, v = e^x

= x·e^x - ∫ e^x dx = x·e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C

4. Integrales Definidas

Una integral definida calcula el área neta entre la curva y el eje x en un intervalo [a,b]:

∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es continua en [a,b] y F es una antiderivada de f, entonces:

∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Ejemplo:

∫[0,2] x² dx = [x³/3][0,2] = 8/3 - 0 = 8/3

5. Aplicaciones de las Integrales

5.1 Cálculo de Áreas

El área entre una curva f(x) y el eje x en [a,b]:

Área = ∫[a,b] |f(x)| dx

5.2 Volúmenes de Revolución

Volumen generado al rotar f(x) alrededor del eje x:

V = π ∫[a,b] [f(x)]² dx

5.3 Longitud de Arco

Longitud de la curva y = f(x) desde x = a hasta x = b:

L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]²) dx

¿Listo para poner a prueba tus conocimientos?