Apuntes de Límites
Comprende los límites de funciones paso a paso
1. Concepto de Límite
El límite de una función es el valor al que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca a un valor determinado.
Se lee: "El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' es igual a L"
Interpretación Geométrica
El límite representa el valor al que se aproxima la función en un punto, aunque la función no esté definida en ese punto.
2. Límites Laterales
Los límites laterales nos permiten estudiar el comportamiento de una función cuando nos acercamos a un punto desde la izquierda o desde la derecha.
Límite por la Izquierda
Límite por la Derecha
Teorema: El límite existe si y solo si ambos límites laterales existen y son iguales:
3. Límites al Infinito
Estudian el comportamiento de las funciones cuando x crece indefinidamente.
Límites de Funciones Racionales
Para P(x)/Q(x) donde P y Q son polinomios:
- Si grado P < grado Q: límite = 0
- Si grado P = grado Q: límite = coeficiente líder de P / coeficiente líder de Q
- Si grado P > grado Q: límite = ±∞
Ejemplo:
lim[x→∞] (3x² + 2x + 1)/(2x² - x + 5) = 3/2
Porque ambos polinomios tienen grado 2, y los coeficientes líderes son 3 y 2.
4. Indeterminaciones
Son expresiones que no tienen un valor definido a primera vista y requieren técnicas especiales.
Tipos de Indeterminaciones
- 0/0
- ∞/∞
- ∞ - ∞
- 0 · ∞
- 1^∞
- 0^0
- ∞^0
Técnicas de Resolución
1. Factorización: Para indeterminaciones 0/0
Ejemplo:
lim[x→2] (x² - 4)/(x - 2) = lim[x→2] (x + 2)(x - 2)/(x - 2) = lim[x→2] (x + 2) = 4
2. Racionalización: Para funciones con radicales
Ejemplo:
lim[x→0] (√(x + 1) - 1)/x
Multiplicando por (√(x + 1) + 1)/(√(x + 1) + 1):
= lim[x→0] (x + 1 - 1)/(x(√(x + 1) + 1)) = lim[x→0] 1/(√(x + 1) + 1) = 1/2
5. Regla de L'Hôpital
Es una herramienta poderosa para resolver indeterminaciones de tipo 0/0 y ∞/∞.
lim[x→a] f(x)/g(x) = lim[x→a] f'(x)/g'(x)
Condiciones:
- f(x) y g(x) deben ser derivables en un entorno de a
- g'(x) ≠ 0 en dicho entorno
- El límite de f'(x)/g'(x) debe existir
Ejemplo:
lim[x→0] sin(x)/x
Aplicando L'Hôpital: lim[x→0] cos(x)/1 = cos(0) = 1
6. Continuidad
Una función es continua en un punto a si:
- f(a) está definida
- lim[x→a] f(x) existe
- lim[x→a] f(x) = f(a)
Tipos de Discontinuidades
- Evitable: Cuando existe el límite pero f(a) no está definida o es distinta
- De salto: Cuando los límites laterales existen pero son distintos
- Esencial: Cuando al menos uno de los límites laterales no existe