Derivadas
Domina el cálculo diferencial con conceptos claros y aplicaciones prácticas
Contenido
1. Concepto de Derivada
La derivada de una función representa la tasa de cambio instantánea de la función en un punto dado.
Definición
La derivada de una función f(x) en un punto x₀ se define como:
Notaciones
- Leibniz: dy/dx, df/dx
- Lagrange: f'(x), y'
- Newton: ẏ, ḟ
2. Interpretación Geométrica
Geométricamente, la derivada en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
Ejemplo Visual
Para la función f(x) = x²:
- En x = 1: f'(1) = 2 → pendiente = 2
- En x = 2: f'(2) = 4 → pendiente = 4
- En x = -1: f'(-1) = -2 → pendiente = -2
3. Reglas de Derivación
Regla de la Constante
Regla de la Potencia
Regla de la Suma
Regla del Producto
Regla del Cociente
Regla de la Cadena
4. Derivadas de Funciones Elementales
| Función | Derivada |
|---|---|
| c (constante) | 0 |
| x | 1 |
| x^n | n·x^(n-1) |
| e^x | e^x |
| ln(x) | 1/x |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | sec²(x) |
5. Aplicaciones de las Derivadas
🔍 Análisis de Funciones
- Puntos críticos
- Máximos y mínimos
- Concavidad
- Puntos de inflexión
📈 Optimización
- Problemas de máximos y mínimos
- Optimización en economía
- Diseño eficiente
🚗 Cinemática
- Velocidad instantánea
- Aceleración
- Movimiento rectilíneo
6. Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1
Enunciado: Encuentra la derivada de f(x) = 3x⁴ - 2x² + 5x - 1
Solución:
f'(x) = d/dx[3x⁴] - d/dx[2x²] + d/dx[5x] - d/dx[1]
f'(x) = 3·4x³ - 2·2x + 5 - 0
f'(x) = 12x³ - 4x + 5
Ejercicio 2
Enunciado: Deriva f(x) = (2x + 1)(x² - 3)
Solución: Usando la regla del producto
f'(x) = (2x + 1)'(x² - 3) + (2x + 1)(x² - 3)'
f'(x) = 2(x² - 3) + (2x + 1)(2x)
f'(x) = 2x² - 6 + 4x² + 2x
f'(x) = 6x² + 2x - 6
Ejercicio 3
Enunciado: Encuentra la derivada de f(x) = sin(2x + 1)
Solución: Usando la regla de la cadena
f'(x) = cos(2x + 1) · d/dx[2x + 1]
f'(x) = cos(2x + 1) · 2
f'(x) = 2cos(2x + 1)